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漸化式a???=2a???+3a?に対し,2次方程式x2=2x+3を考えると、この解はx2-2x-3=0x-3x+1=0より、x=3,-1となります。これらの解を用いると、与えられた漸化式は、a???-3a???=-1a???-3a?…①或いはa???–1a???=3a???–1a?即ちa???+a???=3a???+a?…②と変形できます。ここで、新しい数列{b?}と{c?}を、b?=a???-3a?c?=a???+a?とおくと、①と②は、それぞれb???=-1b?…③c???=3c?…④とできます。更に、b?=a?-3a?=1-3×0=1c?=a?+a?=1+0=1なので、数列{b?}と{c?}はそれぞれ数列{b?}は初項b?=1、公比-1の等比数列数列{c?}は初項c?=1、公比3の等比数列であることが分かります。よって、b?=1×-1??1=-1??1c?=1×3??1=3??1と表すことができます。ここで、b?とc?を元に戻すと、b?=a???-3a?=-1??1…⑤c?=a???+a?=3??1…⑥となります。そこで、⑥から⑤の両辺を引くと、a???+a?-a???-3a?=3??1–1??14a?=3??1–1??1とできるので、両辺を4で割ってa?=3??1–1??1/4となり、これが求めるべき一般項となります。